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Battistin, Emanuele (2017) Trasporto ottimo. Problema di Monge-Kantorovich e teorema di Brenier. [Laurea triennale]

Per questo documento il full-text online non disponibile.

Abstract

La teoria del trasporto ottimo è un ramo del Calcolo delle Variazioni che è oggetto di ricerca di varie aree matematiche, soprattutto analisi, probabilità e ottimizzazione ed ha recentemente ottenuto popolarità anche grazie al lavoro di Yann Brenier, meritevole di aver messo in luce, in un suo lavoro del 1987 intitolato Décomposition polaire et réarrangement des champs de vec-teurs, profonde connessione con altre aree apparentemente più lontane, come lo studio delle PDE, la fuidomeccanica, l'economia, la geometria e l'analisi funzionale. Storicamente tale teoria nasce da un problema proposto da Gaspard Monge nel suo scritto Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais (Trattato sulla teoria dei tagli e dei riempimenti)(1781), nel quale si chiede, dato un fissato volume di sabbia e una buca di eguale volume quale sia il "miglior" modo di spostare la sabbia dal cumulo alla buca, ovvero quale sia il modo di spostare la sabbia tale che ciascun granello subisca il minor spostamento possibile. Affrontando questo problema ingegneristico in modo astratto ed in ambito più generale si rappresentano i due volumi come due misure finite su assegnati spazi, mentre il lavoro viene espresso da una funzione, che prende il nome di "funzione costo". Grande contributo allo studio di questo problema è stato dato dal matematico e premio Nobel per l'economia, nonchè padre della programmazione lineare, Leonid Vitaliyevich Kantorovich che ha proposto due riformulazioni del problema: una prima versione rilassata ed una duale, per questo motivo in letteratura si usa sovente parlare di problema di Monge-Kantorovitch. In questo lavoro di tesi si analizza il caso in cui la funzione costo è il quadrato della distanza e le misure sono misure con momento quadratico finito su spazi euclidei, caso che risulta più trattabile del problema inizialmente proposto da Monge, ma non per questo banale. L'obiettivo è arrivare ad enunciare e provare un risultato di struttura ottenuto da vari matematici tra cui Brenier, Evans, Gangbo, Knott, Smith, McCann, Rachev e Ruschendorf, ma noto in letteratura come teorema di Brenier (Teorema 3.3.1). Nello specifico, tale teorema assicura che, nelle condizioni assunte sopra, se la soluzione esiste, allora la mappa di trasporto che minimizza il problema di Monge con funzione costo quadratico è il gradiente di una funzione convessa. Nella stesura di questo lavoro si è fatto costantemente riferimento a [V] e [M], con particolare riferimento al primo per teoremi e dimostrazioni e al secondo per il percorso scelto.

Item Type:Laurea triennale
Corsi di Laurea Triennale:Scuola di Scienze > Matematica
Subjects:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/05 Analisi matematica
Codice ID:56252
Relatore:Monti, Roberto
Data della tesi:21 July 2017
Biblioteca:Polo di Scienze > Biblioteca di Matematica

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