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Fontanella, Giulia (2018) Introduzione all’omologia singolare. [Laurea triennale]

Per questo documento il full-text online non disponibile.

Abstract

L'approccio della topologia algebrica allo studio della categoria degli spazi topologici consiste nell'associare allo spazio topologico X una sequenza di gruppi, detti gruppi di omologia. L'obiettivo della topologia algebrica consiste quindi nello studiare le proprieta' algebriche di questi gruppi e dedurne proprieta' topologiche di X. In questa tesi, ci concentreremo su un esempio di questo approccio: il Teorema di punto fisso di Brouwer. Il gruppo fondamentale di X in un suo punto x e' il piu' semplice degli oggetti algebrici che possono essere associati ad uno spazio topologico X, ed in molti casi la sua struttura permette di dedurre importanti proprieta' topologiche di X. Ad esempio, nel caso n = 2, il Teorema di punto fisso di Brouwer si dimostra per assurdo supponendo che non vi sia alcun punto fisso. Questa ipotesi permette di costruire una retrazione da E2 a S1, giungendo ad una contraddizione perche' i gruppi fondamentali di E2 ed S1 non sono isomorfi. Nel caso in cui n > 2, un ragionamento analogo non e' sufficiente per dimostrare il Teorema di punto fisso di Brower, visto che la sfera Sn e' semplicemente connessa se n > 2. Abbiamo quindi bisogno di introdurre invarianti algebrici piu' sofisticati. La teoria dell'omologia associa ad ogni spazio topologico X una sequenza di gruppi abeliani detti gruppi di omologia di X. Data una funzione tra spazi topologici, e' possibile studiare le proprieta' della funzione indotta sui gruppi di omologia per dedurre proprieta' topologiche degli spazi. Il Teorema di punto fisso di Brouwer per n > 2 si dimostra rimpiazzando nell'argomento esposto in precedenza il gruppo fondamentale con il gruppo di omologia. In questa tesi si vedranno la definizione e le proprieta' di base dei gruppi di omologia singolare. Innanzitutto si definiranno gli n-cubi singolari come mappe da un cubo In in uno spazio topologico X. Le catene singolari sono date dal gruppo abeliano libero generato dagli n-cubi singolari, quozientato con gli n-cubi singolari degeneri. Si definira' quindi l'operatore di bordo n, che mappa ogni n-cubo nel suo bordo. Si definiranno il gruppo delle n-catene, come nucleo dell'operatore di bordo n, e il gruppo degli n-bordi, come immagine dell'operatore di bordo n+1. I gruppi di omologia sono dati dal quoziente del gruppo delle n-catene modulo il gruppo degli n-bordi. Si studieranno infine le proprieta' dei gruppi di omologia della sfera e si arrivera' cosi' a dimostrare il teorema del punto fisso di Brouwer tramite i gruppi di omologia.

Item Type:Laurea triennale
Corsi di Laurea Triennale:pre 2012- Facoltà di Scienze MM. FF. NN. > Matematica
Subjects:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/03 Geometria
Codice ID:59582
Relatore:Longo, Matteo
Data della tesi:20 April 2018
Biblioteca:Polo di Scienze > Biblioteca di Matematica

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