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Gallato, Pietro (2019) Una disuguaglianza variazionale per minimi del calcolo dellevariazioni con applicazioni alla regolarita'. [Laurea triennale]

Per questo documento il full-text online non disponibile.

Abstract

Questa tesi si propone ad affrontare il problema principale sottoposto nel calcolo delle variazioni, cioè quello di minimizzare un funzionale soggetto a dei vincoli, facendo attenzione alla regolarità della Lagrangiana. Il problema ha numerose applicazioni (es. ingegneria, economia, medicina,...) ed è per questo che è ancora oggetto di studio attualmente. Il primo capitolo fa i primi passi per poter affrontare in maniera più approfondita il problema, cioè le prime condizioni necessarie per poter trovare la soluzione al problema. Inizialmente supponiamo che le x siano C2. Con questa ipotesi valgono le Condizioni necessarie di Eulero e Legendre. Considerare le soluzioni x così regolari non è soddisfacente, poiché esistono numerosi problemi in cui il minimo ha una regolarità inferiore da quella considerata (Esempio 2.1), perciò nel secondo capitolo andiamo a considerare le soluzioni che sono all'interno della classe delle funzioni Lipschitziane, cioè funzioni assolutamente continue le cui derivate esistono quasi ovunque. Il Teorema di Du Bois-Reymond ci dà una condizione necessaria per questo nuovo tipo di problema, in cui il minimo deve soddisfare l'equazione di Eulero integrale. Inoltre, viene introdotta la condizione di convessità della Lagrangiana, che ci permette di enunciare un primo teorema di sufficienza per minimi globali. Il terzo capitolo si sofferma, in particolare, nell'argomento dei teoremi di esistenza, dei quali non avevamo ancora accennato nulla. Per farlo, estendiamo le soluzioni del problema di base alla classe delle funzioni assolutamente continue AC[a,b]. Il Teorema di Tonelli afferma che se la Lagrangiana è continua e convessa in v e con crescita di Nagumo, allora il problema di base ammette una soluzione nella classe delle funzioni assolutamente continue. Un altro risultato importante sulla regolarità è quello del Teorema di Clarke-Vinter: nelle stesse ipotesi del Teorema di Tonelli più l'assunzione che 𝚲 sia autonoma, allora il minimo del problema di base x* è Lipschitz. Nel quarto capitolo si affronta un problema di base nella forma di Bolza, nel caso in cui la Lagrangiana è un funzione non regolare: misurabile rispetto a t e Lipschitz rispetto alla x vicino al minimo x*. Allora esiste un arco p che soddisfa l'inclusione di Eulero, la Condizione di Weierstrass e la condizione di trasversalità. Si darà una dimostrazione di tale teorema solo nel capitolo 5, dopo aver enunciato una versione del Principio del Massimo di Clarke, che ci permette di arrivare alla tesi in pochi passaggi. Il quinto capitolo va ad esaminare due teoremi dell'argomento del Controllo ottimo, il Teorema di Pontryagin, ed una sua estensione, il Teorema di Clarke. In particolare quest'ultimo ci aiuta a dimostrare una parte di un problema che andremo ad analizzare del calcolo delle variazioni, nel capitolo successivo. Nel sesto capitolo l'interesse principale è quello di stabilire le condizioni necessarie a derivare la regolarità Lipschitziana del minimo del problema, nel caso superlineare, usata per l'esistenza di minimi nel Teorema di Tonelli. In generale nel caso non autonomo Tonelli non garantisce la regolarità Lipschitziana o le condizioni necessarie di ottimalità. Nonostante il risultato di esistenza di Tonelli, quindi, ci sono problemi variazionali con una Lagrangiana 𝚲(t,x,v) che non è convessa in v che potrebbero avere minimo. La dimostrazione di questo teorema si basa su una nuova disuguaglianza variazionale: esiste un arco assolutamente continuop W1,1([a,b];ℝ) tale che per quasi ogni t [a,b]: 𝚲(t,x*(t),x'*(t)/v)v -𝚲(t,x*(t),x'*(t)) p(t)(v-1) v>0 Quest'ultima condizione è collegata alle condizioni necessarie classiche del Calcolo delle Variazioni, infatti l'equazione di Erdmann-Du Bois-Reymond insieme alla disuguaglianza di Weierstrass implicano la nuova disuguaglianza. Notiamo anche che la disuguaglianza di Weierstrass vale se c'è la continuità Lipschitziana del minimo o una qualche regolarità Lipschitziana sulla variabile x in 𝚲(t,x,v), cosa che invece non è richiesta nella nuova disuguaglianza.

Item Type:Laurea triennale
Corsi di Laurea Triennale:pre 2012- Facoltà di Scienze MM. FF. NN. > Matematica
Subjects:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/05 Analisi matematica
Codice ID:62655
Relatore: Mariconda, Carlo
Data della tesi:19 July 2019
Biblioteca:Polo di Scienze > Biblioteca di Matematica

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