Vai ai contenuti. | Spostati sulla navigazione | Spostati sulla ricerca | Vai al menu | Contatti | Accessibilità

logo del sistema bibliotecario dell'ateneo di padova

Nalon, Luca (2019) Gruppi e algebre di Lie. [Laurea triennale]

Per questo documento il full-text online non disponibile.

Abstract

Nel primo capitolo concilieremo il concetto algebrico di gruppo e quello di topologia, ci soffermeremo sulle implicazioni che intercorrono tra termini algebrici e topologici, in particolare tra connessione e normalità dei sottogruppi. Successivamente ripasseremo i principali esempi di sottogruppi di $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, soffermandoci a riflettere sulle questioni topologiche, e introdurremo le mappe $\exp$ e $\log$ per le matrici e più in generale per trasformazioni lineari. Continueremo proponendo la nozione di gruppo di Lie lineare e di algebra di Lie, con un approccio analitico e servendoci massicciamente dei risultati dei paragrafi precedenti. In particolare apprezzeremo la natura di varietà differenziabile dei gruppi di Lie lineari in virtù della loro struttura di gruppo e vedremo come l'algebra di Lie ad esso associata goda di un ruolo centrale in questo senso. Concluderemo il capitolo trattando di algebre di Lie nilpotenti e risolubili, sottolineando il legame con la teoria di Galois. Nel secondo capitolo ci preoccuperemo di dotare di una misura un gruppo topologico, in modo che essa sia coerente con la struttura di gruppo. Risolveremo la questione nel caso di gruppi topologici localmente compatti con la misura di Haar, in questo senso enunceremo il teorema fondamentale di esistenza e unicità. Nel caso dei gruppi di Lie lineari costruiremo esplicitamente una misura di Haar su di essi servendoci degli strumenti del calcolo differenziale. Nell'ultima parte dell'elaborato entreremo nel dettaglio delle rappresentazioni dei gruppi, concetto già introdotto nel corso della tesi ma solo qui generalizzato al caso di spazi vettoriali di dimensione infinita. Vedremo come nel caso dei gruppi compatti ci si possa sempre ricondurre al caso finito-dimensionale. Enunceremo e dimostreremo il Teorema di Schur e il Teorema di Peter-Weyle che costituiscono il cuore di questa teoria. Infine vedremo in che modo questi enunciati estendano l'analisi di Fourier in un contesto più ampio, apprezzando la differenza che intercorre tra il caso commutativo e quello non commutativo.

Item Type:Laurea triennale
Corsi di Laurea Triennale:pre 2012- Facoltà di Scienze MM. FF. NN. > Matematica
Subjects:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/02 Algebra
Codice ID:62986
Relatore:Ciatti, Paolo
Data della tesi:27 September 2019
Biblioteca:Polo di Scienze > Biblioteca di Matematica

Solo per lo Staff dell Archivio: Modifica questo record